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Potenzen mit natürlichen Exponenten Lernziel: Potenzen mit natürlichen Exponenten beherrschen |
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Potenzen mit natürlichen Exponenten Exponenten treten z.B. auf bei:
Flächenformeln oder Volumenmassen: cm2 oder m3
Ein Würfel mit der Kante 2 m hat ein Volumen von 23 m3
Allgemein hat ein Würfel mit der Kante a ein Volumen von a3 nach der Volumenformel Länge mal Breite mal Höhe, beim Würfel a.a.a = a3
In der Mathematik heisst diese abgekürzte Multiplikation eine Potenz:
Als Spezialfall gilt a1 = a. Der Exponent 1 wird normalerweise nicht geschrieben.
| Frage: | Welche der folgenden Terme sind Potenzen? | ||
| 3a4 3 und a sind verschiedene Basen, also keine Potenz | oder | b12 Ja, das ist eine Potenz | |
Klammern sind bei Potenzen sehr wichtig. (cd)3 ist nicht dasselbe wie cd3
Beispiel (a): (cd)3 bedeutet (cd).(cd).(cd)
Beispiel (b): cd3 bedeutet c.d.d.d
| Frage: | Welche der beiden Gleichungen ist richtig? | ||
| (3x)2Ja, die 3 muss auch potenziert werden = 9x2 | oder | (3x)2 = 3x2Auch die 3 muss potenziert werden | |
Für das Vorzeichen einer Potenz gilt:
| Die Vorzeichenregel: | (-1)n = 1 wenn n eine gerade Zahl
ist (-1)n = -1 wenn n eine ungerade Zahl ist |
| Frage: | Für eine natürliche Zahl n gilt eine der beiden Aussagen: | ||
| (-1)2n + 1 = 1der Exponent 2n+1 ist ungerade | oder | (-1)2n + 1 = -1das ist richtig | |
Für die Multiplikation von Potenzen gibt es Regeln.
Beispiel (1): a3.a4 bedeutet (a.a.a).(a.a.a.a) = a3 + 4 = a7
| Die Regel (1) lautet: | Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert indem man die Exponenten addiert und die Basis beibehält. |
Beispiel (2): a4.b4 bedeutet (a.a.a.a).(b.b.b.b) = (a.b).(a.b).(a.b).(a.b) = (ab)4
| Die Regel (2) lautet: | Potenzen mit gleichen Exponenten werden multipliziert indem man die Basen multipliziert und den Exponenten beibehält. |
Beispiel: a4.b3 bedeutet (a.a.a.a).(b.b.b) Es kann weder Regel (1) noch Regel (2) angewendet werden.
| Fragen: | Welche der Aussagen sind richtig? | ||
| (2a)5 = 25.a5Ja das stimmt | oder | (2a)5 = 2a5die 2 muss auch mit 5 potenziert werden | |
| x3.x = x4stimmt | oder | x3. + x = x4 kann nicht vereinfacht werden | |
| 2x33y2 = 6(xy)5beachten Sie das Beispiel (3) | oder | 2x33y2 = 6x3y2Bravo! | |
Für die Division von Potenzen gibt es ähnliche Regeln.
Beispiel (3): a5:a2 bedeutet 
= a5 - 2 = a3 (a # 0)
| Die Regel (3) lautet: | Potenzen mit gleicher Basis werden dividiert indem man die Exponenten subtrahiert und die Basis beibehält. |
Bemerkung: Die Regel (3) gilt nur solange der Exponent des Zählers grösser als der Exponenten des Nenners ist. Nur in diesem Fall ist das Resultat der Subtraktion immer noch eine natürliche Zahl. Diese Einschränkung wird im nächsten Kapitel aufgehoben.
Beispiel (4): a5:b5 bedeutet 
= 
(b # 0)
| Die Regel (4) lautet: | Potenzen mit gleichem Exponenten werden dividiert indem man die Basen dividiert und den Exponenten beibehält. |
| Fragen: | Was stimmt bei diesen Aussagen? | ||
| ax + 5 : ax - 2 = a3Beachten Sie die Vorzeichen | oder | ax + 5 : ax - 2 = a7Ja das ist richtig | |
| (ac)5 : ac2 = (ac)3Beachten Sie die Klammern | oder | (ac)5 : ac2 = a4c3Gut gemacht | |
Die letzte Regel befasst sich mit dem potenzieren einer Potenz.
Beispiel (5): (a3)2 bedeutet (a.a.a)2 = a3.a3 = a3.2 = a6
| Die Regel (5) lautet: | Potenzen werden potenziert indem man die Exponenten multipliziert und die Basis beibehält. |
Wiederum muss auf die Klammern geachtet werden:
Beispiel: 
aber
| Fragen: | Welche Aussagen sind richtig? | ||
| (a3)2 = (a2)3Gut, jetzt kommt die letzte Aufgabe | oder |  Das ist leider falsch |
|
 Stimmt leider nicht |
oder |  Bravo |
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